正規分布と砂山と円周率π

正規分布の式に、円周率πが出てくるのは、不思議に感じられる。

しかし、砂時計のように、砂を落としていくと、砂山は正規分布のような形になる。

このとき、上から落とした砂は、上から見ると、丸い形に広がる。

ある一断面をとって、見てみると、

縦横高さ１(ｃｍ)の、四角い砂粒を上から落として、積み重なることなく一様に丸く広がったとした場合、

その落とした砂粒の総量がa（ｃｍ）とすると、断面の長さ（直径）は、

で、自然にπが出てくる。

砂粒の総量が１(ｃｍ３)の場合は、下の絵のようになる。