テイラー展開（近似式を得る）

テイラー展開を使うと、「もとの難しい式」が「簡単な近似式」になり、この近似式を使って計算しても、結構いい値が得られるようです。

それで、
　この近似式により得られる値が、どの程度、元の式に近いのか、
　テイラー級数のどの程度の項まで使えばいいのか、
　テイラー級数の項の和が増えるに従って、どういう風に値が真の値に近づいていくのか、
を見てみようと思いました。

テイラー展開による近似式は、ＴＩ製電卓ＴＩ８９Titaniumでは次の関数で得られます。

Taylor(独立変数だけの関数, 独立変数, 表示させる項)

テイラー展開のうち､a=0としたものはマクローリン展開と称されます。
ここでは、マクローリン展開について、見ていきます。

①元々の変数xを含む「複雑な形の式」は微分されて、n!が付いて、xには数字を入れて、「数値化」してしまう。
②x^nをくっつける。
③※ここでnは、項目の数(+1:理由 項目の数は１個目から始まるけれど､nは0から始まるから、１ずれている)

テイラー展開を味わう (すなわち電卓で計算)。

ここでは､f(x)=e^xについて見てみる。

ここで、x=5としたときの計算結果｡

計算結果

電卓の表示画面

近似式による計算結果を、方眼紙にプロットしたもの（手書きで､多少ずれています)

横軸は､テイラー展開による近似式(テイラー級数)の、項の数です｡

図では１から１０までプロットしています。

真の値は148.4･･･です。

これを見ると、

項の数を増やすに従って、真の値に、Ｓ字型の曲線的に近づいていく様子です。

見た感じでは、項の数が９～10であれば、まあいいかな、という感じです。

ここではxの値が５ですが、xの値がより小さければ、少ない項の数で、真の値にどんどん近づいていきます。
xの値がより大きくなると、よい近似値を得るための項のもより多く必要となると考えられました。