オイラーの等式

y=e^(θi)について、

θ=πのとき、オイラーの等式

e^(πi)=-1

が成り立ちます。

元になる式y=e^(θi)

について、θを変化させて電卓で計算してみました。

y=e^(θi)

のθを変化させると、

　ｘ軸：実数

　ｙ軸：虚数

の複素平面上で、

yはくるくる回転することが分かりました。

このθを軸にして、

　ｘ軸：y=e^(θi)の実数部分

　ｙ軸：y=e^(θi)の虚数部分

　ｚ軸：θ

を3軸とする3次元座標上で、ｙの値がどういう軌跡をとるかを考えると、

くるくる回転がθ軸方向に引き延ばされて、らせん状となることが予想されました。

また、計算してみると、「オイラーの等式」に似た別バージョンの「等式」があることが分かりました。

ｅ^(0i) －1＝0

ｅ^(π/2)i －i＝0

ｅ^(3π/2)i ＋i＝0

ｅ^(2πi) －1＝0

メモ

y=e^(θi)のθを変化させたときの値を、3次元空間上にプロットしてみました。

やはりらせん状になりました。

（電卓HP-35s、フリーソフトOpenOfficeCalcおよびC-GRAPH 3Dを使用）

※図中の小さい赤丸○の部分が、「オイラーの等式」に相当する点。

（図をクリックすると見やすくなります。）

同様の点は、1周期（θが２π増加または減少する）毎にあらわれる。

(10/13追加：今googleで検索したら、このページでも、「オイラーの公式の三次元化」を載せていることがわかりました。本ページではsinθ、cosθを使わずにe、π、ｉおよびθのみを使って計算していますが、いずれも同じ結果が得られます。)

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（その他考察）

なお、元となる「オイラーの公式」について、

物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい，そして驚くべき「公式」の一つ」だと述べている。

（Ｒｅｆ：Wikipedia「オイラーの公式」）

また、「オイラーの等式」については、

The Mathematical Intelligencer 誌の読者調査によると、この等式は「数学における最も美しい定理」 (The most beautiful theorem in mathematics) と呼ばれている。

（Ｒｅｆ：Wikipedia「オイラーの等式」）

2004年に実施された Physics World 誌での読者調査ではマクスウェルの方程式と並び、オイラーの等式を「史上最も偉大な等式」(Greatest equation ever) と呼んだ。

（Ｒｅｆ：Wikipedia「オイラーの等式」）

と評されています。ここで「オイラーの等式」と「マクスウェルの方程式」について、前者は数学的、後者は電磁場への考察から導かれたと考えられますが、いずれも「実数と虚数からなる複素空間上での回転を現している」という興味深い共通点があります。（マクスウェルの電磁方程式について、一般には実数で表記されたものが知られているが、マクスウェルは虚数の概念の含まれる「四元数」を用いた定式化を行っている。）

これらの分野につきまして、当方は全くの素人なのですが(^^;;、このこと等につきまして、筑波大学の理系分野の方々などから、ご意見やご感想、議論等、ございましたら、よろしくお願いいたしますm(. .)m